Minggu, 11 Mei 2014

DESKRIPSI HEWAN

DESKRIPSI HEWAN

1. HAMSTER

binatang sejenis hewan pengerat, terdapat berbagai jenis di dunia dan hampir ada di tiap negara. termasuk ke dalam subfamili cricetinae. Subfamili ini terbagi ke dalam sekitar 18 spesies, yang diklasifikasikan ke dalam enam atau tujuh genus.

Memiliki badan yang gemuk, dengan ekor yang lebih pendek daripada badannya dan memiliki telinga yang berbulu, kaki yang lebar, pendek dan pendek gemuk. memiliki bulu yang tebal dan panjang, dan bulunya memiliki berbagai warna tergantung spesiesnya, contohnya hitam, abu-abu, putih, coklat, kuning dan merah. Bagian bawah berwarna putih sampai abu-abu dan hitam..

Habitat nya di utara terletak dari Eropa tengah sampai Siberia, Mongolia, dan Tiongkok utara sampai Korea. Mereka hidup di perbatasan padang pasir, bukit pasir yang divegetasi, bukit di kaki gunung dan dataran rendah yang bersemak-semak dan berbatu, sungai di lembah, dan padang rumput yang luas, beberapa juga tinggal di ladang tanam. Sebaran geografi menggambarkan kelompok spesies.

Termasuk makhluk omnivora. Makanan mereka biasanya butir padi, tetapi juga termasuk buah segar, akar, bagian hijau tumbuhan, invertebrata dan beberapa binatang kecil lainnya (serangga seperti belalang).membawa makanan mereka di pipi dimana di dalamnya terdapat kantung untuk dimasukan kedalam lubang makanan mereka.Namun, tidak semua makanan cocok untuk nyar, beberapa makanan, seperti daun beracun dari tomat, menjadi makanan yang paling berbahaya untuk kesehatan.

Kelakuannya biasanya bersifat diam dan nokturnal walaupun juga dapat dikatakan krepuskular dan mereka terkadang aktif pada awal pagi hari atau akhir sore. Mereka adalah penggali yang baik, membuat lubang dengan pintu masuk satu atau lebih dan dengan galeri yang terhubung dengan kamar mereka untuk sarang, gudang makanan dan aktivitas lainnya. Tidak ada yang berhibernasi selama musim dingin, tetapi beberapa pengalaman periode torpor terjadi selama beberapa hari sampai beberapa bulan.

2. GAJAH

Mempunyai belalai yang panjang , berwarna abu abu , mempunyai bentuk tubuh yang besar, termasuk dalam golongan herbivora, kita dapat menjumpai di kebun binatang atau hutan, salah satu ciri khasnya yaitu memiliki gading , ia biasa mengambil makanannya dengan menggunakan hidung atau belalainya, mereka hidup secara berkelompok,pada umumnya banyak manusia yang memburunya hanya untuk mendapatkan gadingnya , ia termasuk salah satu yang di lestarikan.

3. Tupai

Segolongan mamalia kecil yang mirip, dan kerap dikelirukan, dengan bajing. Secara ilmiah, hewan ini tidak sama dan jauh kekerabatannya dari keluarga bajing. Hewan ini adalah pemangsa serangga dan dahulu dimasukkan ke dalam bangsa pemakan serangga bersama-sama dengan cerurut, sedangkan bajing dan bajing terbang termasuk bangsa Rodentia (hewan pengerat) bersama-sama dengan tikus.

Hewan ini memiliki otak yang relatif besar. Rasio besar otak berbanding besar tubuh pada hewan ini adalah yang terbesar pada makhluk hidup, bahkan mengalahkan manusia. Namun menurut pendapat terbaru berdasarkan kajian kekerabatan molekuler (molecular phylogeny), kini digolongkan tersendiri ke dalam bangsa Scandentia; yang bersama-sama dengan kubung (bangsa Dermoptera) dan bangsa Primata di atas, menyusun kelompok hewan yang disebut Euarchonta.

4. ANJING CIHUAHUA

Memiliki tubuh yang kompak dan agak sedikit panjang. Ekornya tidak dipotong (undocked) dan tidak terlalu panjang. Ekornya biasanya melengkung ke arah punggung (tea cup tail) , menunjuk ke arah kepala dan tegak lurus seperti antena. Batok kepala berbentuk buah apel (apple dome), Kalau dilihat dari samping, antara batok kepala dan moncong meiliki sudut 90 derajat. Batok kepala harus berbentuk bulat jika dilihat dari depan bukan kotak . biasanya memiliki molera (lubang) di atas kepala pada saat lahir dan akan merapat atau hilang pada saat dewasa. Warna mata harus berwarna gelap, hidung berwarna hitam atau coklat jika warna bulunya putih atau warna muda. Kuping nya berdiri tegak dan letaknya membentuk sudut 45 derajat jika dilihat dari depan. tidak memiliki kuping seperti kuping Miniature Pincher yang posisinya tegak lurus ke atas.

Memiliki 2 jenis bulu; bulu pendek (smooth coat) dan bulu panjang (long coat) . Keduanya boleh saling dikawinkan tidak seperti anjing Dachshund atau Fox Terrier yang tidak boleh dikawinkan jika type bulunya berbeda. Kadang dari perkawinan antara bulu pendek dapat menghasilkan bulu panjang begitu juga sebaliknya.. Berat badannya berkisar antara 1 Kg – 2,7 Kg dengan tinggi badan sampai 20 CM diukur sampai punggung.

5. Kucing

Hewan ini termasuk mamalia, berkaki empat dan juga termasuk hewan vertebrata (bertulang belakang). Hewan ini tidak berbahaya, bahkan banyak dijadikan sebagai hewan peliharaan. Tetapi ada satu-satunya bahaya yang disebabkan hewan ini adalah kemungkinan terjadinya infeksi rabies akibat gigitannya dan juga cakaran dari kuku kucing yang sangat perih dan menyakitkan.

Hewan ini dapat berakibat fatal bagisuatu ekosistem yang bukan tempat tinggal alaminya. Pada beberapa kasus, kucing dapat menyebabkan kepunahan. Kucing menyergap dan melumpuhkan mangsa dengan cara yang mirip dengan singa dan harimau, menggigit leher mangsa dengan gigi taring yang tajam sehingga melukai saraf tulang belakang atau menyebabkan mangsa kehabisan napas dengan merusak tenggorokan.

sumber :

http://uthyns.blogspot.com/2013/10/deskripsi-hewan-dan-tumbuhan_20.html

http://ranimonica.wordpress.com/2012/12/04/deskripsi-hewan/

http://sherlyyunitabahrun.wordpress.com/2013/01/13/deskripsi-tentang-hewan-dan-tumbuhan/

Bilangan Bulat dan Riil

Bilangan bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan asli ( 1, 2, 3, …), bentuk negatifnya (-1, -2, -3, …) dan bilangan nol. Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Jika ditinjau dari segi nama, bilangan bulat pasti sesuatu yang bulat. Maksudnya bilangan ini adalah bilangan utuh.

Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z, berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk “bilangan”).

Sifat-sifat

Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.

Contoh:

2 x 3 akan menghasilkan 6 dimana 2 adalah bilangan bulat, 3 adalah bilangan bulat dan 6 adalah bilangan bulat.

2 – 3 akan menghasilkan -1 dengan -1 adalah bilangan bulat negatif

2 + 3 akan menghasilkan 5 dengan 5 adalah bilangan bulat positif

sedangkan 2 / 3 akan menghasilkan 0,67 dimana 0,67 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.

Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:

4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.

Bilangan bulat sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman

Bilangan bulat (integer) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama integer. Dalam alokasi memori, integer memerlukan 2 byte (16 bit) data di memori yang artinya dapat menampung nilai hingga 2^16. Namun karena integer didefinisikan sebagai type data signed tipe data integer hanya mampu di-assign nilai antara -32768 sampai 32767. Apa itu signed? Signed maksudnya bilangan tersebut memiliki tanda. Sebagaimana tanda – atau + di depan bilangan yang menunjukkan nilai negatif atau positif. Lalu kenapa hanya bisa menampung nilai antara -32768 hingga 32768 saja? Hal ini disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai penanda positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama, tetapi tipe data integer pada bahasa pemrograman Visual Basic .NET, Delphi, dan Bahasa D memiliki ukuran 4 byte atau 32 bit signed sehingga dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga 2,147,483,647.

Bilangan riil

Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah / scientific notation bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Okelah kita nggak usah meributkan perbedaan itu. Yang penting kita tahu dan mengerti maksud dari bilangan riil. Bilangan real merupakan gabungan bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan akar2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (pasti udah bisa nebak, simbol R berasal dari kata “Real”).

Sifat-sifat

Himpunan R tertutup untuk semua operasi. Artinya bilangan riil yang dioperasikan akan menghasilkan bilangan riil juga

Contoh:

2,5 x 3,7 akan menghasilkan 9,25 dimana 2,5 adalah bilangan riil, 3.7 adalah bilangan riil dan 9,25 adalah bilangan riil.

2,5 – 3,7 akan menghasilkan -1,2 dengan -1,2 adalah bilangan riil negatif (dalam kasus 2,5 – 3,5 dihasilkan nilai -1,0)

2,5 + 3,7 akan menghasilkan 6,2 dengan 6,2 adalah bilangan riil positif

2,5 / 3,7 akan menghasilkan 0,675 dimana 0,675 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.

Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:

4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.

Bilangan riil sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman

Bilangan riil (real atau floating point) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama real. Dalam alokasi memori, real memerlukan 6 byte (48 bit) data di memori. Namun karena real “juga” didefinisikan sebagai type data signed tipe data real hanya mampu di-assign nilai antara 2.9 x 10^-39 s/d 1.7 x10^38.

sumber :

http://trisofiya.wordpress.com/2013/06/07/tugas-matematika-iad-tentanng-bilagan-bulat-bilangan-riil/

Himpunan Bilangan dan Skemanya

SKEMA HIMPUNAN BILANGAN

Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

N = {1,2,3,4,5,6,......}
Himpunan bilangan prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

P = {2,3,5,7,11,13,....}
Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
Himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Himpunan bilangan rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
Himpunan bilangan irasional
Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: log 2, e, Ö7
Himpunan bilangan riil
Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
Himpunan bilangan imajiner
Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1

contoh: i, 4i, 5i
Himpunan bilangan kompleks
Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.

contoh: 2-3i, 8+2

sumber :

http://matamatakak.blogspot.com/

Jumat, 09 Mei 2014

Operasi antara Himpunan

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

A. Anggota Himpunan

a. Untuk menyatakan suatu benda (objek) yang merupakan anggota himpunan dilambangkan " ∈" dan jika bukan anggota dilambangkan " ".
b.Himpunan terhingga dan tak terhingga Himpunan terhingga adalah himpunan yang anggotanya tertentu. Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang anggotanya tak terbatas jumlahnya.

B. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota Notasi himpunan kosong adalah { } atau {0} bukan himpunan kosong karena mempunyai anggota yaitu “nol”.

C. Himpunan bagian

A himpunan bagian dari B jika setiap anggota A merupakan anggota himpunan B dan ditulis "A( B". Jika banyaknya anggota suatu himpunan A adalah n(A), maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2n(A)

D. Himpunan semesta

adalah himpunan yang memuat semua obyek yang dibicarakan. notasi "S".

E. Diagram Venn

digunakan untuk menyatakan suatu himpunan atau hubungan antar himpunan.

F.Menyatakan suatu Himpunan

   Dengan kata-kata
Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.
Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.
2.     Dengan notasi pembentuk himpunan
Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y. Contoh: P : {bilangan prima antara 10 dan 40}. Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {10 < x < 40, x €bilangan prima}.
3.     Dengan mendaftar anggota-anggotanya
Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggotaanggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh: P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

G.Operasi Antar Himpunan dan Diagram Venn-nya

1. Irisan himpunan

A irisan B ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

2. Gabungan Himpunan

A gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

3. Komplemen himpunan

Komplemen A ditulis A1 atau Ac = {x | x ∈ S dan x ∈ A}

H. Operasi Pada Himpunan

Jika S adalah himpunan semesta dan himpunan A Ì S , komplemen dari A , ditulis A’ , adalah himpunan dari semua anggota S yang bukan merupakan anggota A .

A’ = { x | x ÏA }

Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B atau anggota keduanya.

A È B = { x | x ÎA atau x ÎB }

Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A Ç B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A dan B.

A Ç B = { x | x ÎA dan x ÎB }

Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B.

A - B = { x | x ÎA dan x ÏB }.

Jelas bahwa

B - A = { x | x ÎB dan x ÏA }.

Selisih simetri (symetric difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A D B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota gabungan himpunan A dan B, tetapi bukan merupakan anggota irisan himpunan A dan B.

A D B = ( A È B ) – ( A Ç B )

atau

A D B = ( A – B ) È ( B - A ).

sumber :

http://stephanips.blogspot.com/2013/05/matematika-operasi-antar-himpunan-dan.html

Diagram Venn

Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika, diagram Venn ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn untuk menunjukkan hubungan sederhana dalam topik-topik di bidang logika, probabilitas, statistik, linguistik dan ilmu komputer.

Diagram Venn untuk set A, B, dan C	Hubungan antara set A, B dan C	Diagram Venn dari 4 set

sumber :
http://id.wikipedia.org/wiki/Diagram_Venn

Pengertian, Penulisan dan Macam Himpunan

Himpunan

Notasi Himpunan

Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Nama	Notasi	Contoh
Himpunan	Huruf besar	$S$
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)	$a$
Kelas	Huruf tulisan tangan	$\mathcal{C}$

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan	Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks
Notasi	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{C}$

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol	Arti
$\{ \}$ atau $\varnothing$	Himpunan kosong
$\cup$	Operasi gabungan dua himpunan
$\cap$	Operasi irisan dua himpunan
$\subseteq$ , $\subset$ , $\supseteq$ , $\supset$	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
$A^C$	Komplemen
$\mathcal{P}(A)$	Himpunan kuasa

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

B = \{ apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}

A = \{ a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}

\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

O = \{ u\, |\, u \mbox{ adalah bilangan ganjil} \}

E = \{ x\, |\, x \in \mathbb{Z} \and (x \mbox{ mod } 2 = 0)\}

P = \{ p\, |\, p \mbox{ adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI} \}

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

A = \{ x\, |\, x \notin A\}

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

Himpunan kosong

Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

\varnothing = \{ \, \}

Relasi antar himpunan

Himpunan bagian

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

B \subseteq A \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in A

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka

\varnothing

juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

\varnothing \subseteq A

Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

A \subseteq A

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

B \subset A \equiv B \subseteq A \wedge B \neq A

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.

A \supseteq B \equiv B \subseteq A

Kesamaan dua himpunan

Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

A = B \equiv \forall_x\; x \in A \leftrightarrow x \in B

atau

A = B \equiv A \subseteq B \wedge B \subseteq A

Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah

\mathcal{P}(A)

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka

\mathcal{P}(A)

 { { },
   {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},
   {apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},
   {jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},
   {apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang},
   {apel, jeruk, mangga, pisang} }

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}

Kelas

Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan

A = \{ \{a,\,b\},\, \{c,\,d,\,e,\,f\},\,\{a,\,c\},\,\{,\}\}

adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya,

\mathcal{P}(A)

adalah sebuah keluarga himpunan.

Contoh berikut,

P = \{ \{a,\,b\}, c\}

bukanlah sebuah kelas, karena mengandung anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan

\{apel, jeruk, mangga, pisang\}

adalah 4. Himpunan

\{p, q, r, s\}

juga memiliki anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.

Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat fungsi

\{(apel,\,p),\,(jeruk,\,q),\,(mangga,\,r),\,(pisang,\,s)\}

yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.

Himpunan Denumerabel

Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan

\mathbb{N}

, yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas

\mathfrak{a}

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh

2n\,

A = \{ 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, ...\}

Himpunan Berhingga

Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas

\mathfrak{a}

, maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan Tercacah

Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel

Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas

\mathfrak{c}

. Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.

Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas

\mathfrak{c}

, karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah

y=tan(\pi x - \frac{1}{2}\pi)

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.

\chi_{A}(x) = \begin{cases} 1,\quad\mbox{jika } x \in A \\ 0,\quad\mbox{jika } x \notin A \end{cases}

Jika

A = \{apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}

maka:

\chi_A(apel) = 1

\chi_A(durian) = 0

\chi_A(utara) = 0

\chi_A(pisang) = 1

\chi_A(singa) = 0

Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa

\mathcal{P}(S)

dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah anggota dalam himpunan tersebut.

Representasi Biner

Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:

 Himpunan                            Representasi Biner
 ----------------------------        -------------------
                                     a b c d e f g
 S = { a, b, c, d, e, f, g }   -->   1 1 1 1 1 1 1
 A = { a,    c,    e, f    }   -->   1 0 1 0 1 1 0
 B = {    b, c, d,    f    }   -->   0 1 1 1 0 1 0

Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan), interseksi (irisan), dan komplemen (pelengkap), karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal dan juga Delphi.

Opersai dasar

Gabungan

Gabungan antara himpunan A dan B.

Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat dasar gabungan:

A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
A ⊆ (A ∪ B).
A ∪ A = A.
A ∪ ∅ = A.
A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.

Irisan

Irisan antara himpunan A dan B.

Operasi irisan A ∩ B setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama antara dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = ∅, maka A dan B dapat dikatakan disjoint (terpisah).

Contoh:

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
{Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
{Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat dasar irisan:

A ∩ B = B ∩ A.

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ∩ B ⊆ A.
A ∩ A = A.
A ∩ ∅ = ∅.
A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen

Komplemen B terhadap A.

Komplemen A terhadap U.

Diferensi simetris himpunan A dan B.

Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

Contoh:

{1, 2} \ {1, 2} = ∅.
{1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat dasar komplemen:

A \ B ≠ B \ A untuk A ≠ B.
A ∪ A′ = U.
A ∩ A′ = ∅.
(A′)′ = A.
A \ A = ∅.
U′ = ∅ dan ∅′ = U.
A \ B = A ∩ B′.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B menghasilkan

A\,\Delta\,B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A).

Contohnya, diferensi simetris antara:

{7,8,9,10} dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}.
{Ana,Budi,Dedi,Felix} dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah {Ana,Cici,Ela,Felix}.

Hasil Kali Kartesian

Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.

Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan antara A dan B didefinisikan dengan A × B. Anggota himpunan | A × B | adalah pasangan terurut (a,b) dimana a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B.

Contoh:

{1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.
{1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Beberapa sifat dasar himpunan perkalian:

A × ∅ = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
| A × B | = | B × A | = | A | × | B |

sumber :

http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_%28matematika%29

ANDE

Minggu, 11 Mei 2014

DESKRIPSI HEWAN

Bilangan Bulat dan Riil

Himpunan Bilangan dan Skemanya

Jumat, 09 Mei 2014

Operasi antara Himpunan

Diagram Venn

Pengertian, Penulisan dan Macam Himpunan

Himpunan

Notasi Himpunan

Himpunan kosong

Relasi antar himpunan

Himpunan bagian

Superhimpunan

Kesamaan dua himpunan

Himpunan Kuasa

Kelas

Kardinalitas

Himpunan Denumerabel

Himpunan Berhingga

Himpunan Tercacah

Himpunan Non-Denumerabel

Fungsi Karakteristik

Representasi Biner

Opersai dasar

Gabungan

Irisan

Komplemen

Hasil Kali Kartesian

Kenapa orang baik?

Laporkan Penyalahgunaan